Perluasan Integral Dari Daerah Ideal Utama


PROSIDING || Seminar Nasional || Menyiapkan Pendidikan Matematika Dalam Menghadapi MEA
14 Mei 2016 || ISBN: 978-979-8559-72-3
Penerbit : Universitas PGRI Adi Buana Surabaya

Penulis  : Eka Susilowati

PDF

Abstrak

Daerah integral  dikatakan daerah faktorisasi tunggal (DFT) jika setiap bukan unit dapat dinyatakan secara tunggal sebagai hasil kali sejumlah berhingga elemen iredusibel.Sedangkan bilamana setiap ideal di dalam  merupakan ideal utama, dikatakan daerah ideal utama (DIU). Himpunan bilangan bulat  merupakan daerah ideal utama. Beberapa sifat yang dimiliki daerah ideal utama memotivasi suatu daerah integral dengan struktur berbeda  yang dinamakan daerah Dedekind. Daerah Dedekind adalah suatu daerah integral yang merupakan gelanggang Noetherian, tertutup secara integral dalam lapangan hasil baginya, dan setiap ideal prima dalam  merupakan ideal maksimal. Oleh karena daerah Dedekind ternyata mempunyai sifat yang serupa dengan , maka daerah Dedekind dapat dipandang sebagai abstraksi dari . Dalam makalah ini, dibahas mengenai sifat daerah ideal utama terkait dengan perluasan integral, yaitu daerah ideal utama tertutup secara integral, serta keterkaitannya  dengan daerah Dedekind, bahwa setiap daerah ideal utama merupakan daerah Dedekind. Selain itu, akan dibahas mengenai hubungan antara daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal, yaitu setiap daerah ideal utama  merupakan daerah faktorisasi tunggal, namun tidak sebaliknya.

Kata kunci: daerah Dedekind, daerah faktorisasi tunggal, daerah ideal utama, gelanggang Noetherian

 

Abstract

A domain  is an unique factorization domain (UFD) if every  nonunit element can be written uniquely as finite product of irreducible elements. Whereas when every ideal of  is principal ideal, a domain  is a principal ideal domain (PID). Set of integer  is a PID. Some properties which are had a PID motivate a domain with different structure is called a Dedekind Domain. A Dedekind domain is a domain  which Noetherian ring, integrally closed in its field of fractions, and every nonzero prime ideal of  is maximal. Because of that a Dedekind domain evidently have same properties with , so Dedekind domain can be viewed as abstraction of . We discuss about properties of a principal ideal domain concerned with integral extension, that principal ideal domain integrally closed, as soon as its relevance with Dedekind domain, that every principal ideal domain is a principal ideal domain. In to the bargain, we discuss about the relationship between a principal ideal domain (PID) and unique factorization domain (UFD), that every PID is a UFD, but convers is false.

Keyword : Dedekind domain, unique faktorization domain,  principal ideal domain


  1. PENDAHULUAN

Pada pertengahan abad 19, Kummer memperkenalkan suatu daerah integral dengan struktur khusus yang dinamakan daerah faktorisasi tunggal. Kummer mendefinisikan bahwa suatu daerah integral dinamakan daerah faktorisasi tunggal jika setiap elemennya dapat difaktorisasi dalam bentuk hasil kali elemen tak tereduksi yang bersifat tunggal.

Selanjutnya, dikenal pula struktur daerah integral yang berbeda dengan daerah faktorisasi tunggal. Apabila suatu daerah integral yang setiap ideal di dalamnya merupakan ideal utama maka daerah integral tersebut dinamakan daerah ideal utama.

Pada tahun 1871, Kummer dan Dedekind memperkenalkan suatu struktur daerah integral lain yang dinamakan daerah Dedekind. Daerah Dedekind ini termotivasi dari beberapa sifat yang dimiliki daerah ideal utama. Apabila suatu daerah integral memenuhi syarat bahwa daerah integral tersebut merupakan gelanggang Noetherian, tertutup secara integral, dan setiap ideal prima merupakan ideal maksimal, maka daerah integral tersebut dinamakan daerah Dedekind.

Penelitian di dalam skripsi ini berawal dari suatu proposisi yang dijelaskan Dummit Foote (2004) mengenai keterkaitan antara daerah ideal utama dan daerah Dedekind. Dari penyelidikan keterkaitan kedua daerah integral tersebut, ada berbagai sifat yang dimiliki daerah ideal utama yang perlu diteliti, penulis berusaha menyelidiki salah satu sifat dari daerah ideal utama terkait dengan perluasan integral. Apabila diberikan suatu daerah ideal utama, apakah daerah ideal utama memiliki sifat tertutup secara integral di dalam lapangan hasil baginya. Dalam pembuktian tersebut, penulis harus menyelidiki apakah setiap daerah ideal utama tersebut merupakan daerah faktorisasi tunggal. Penelitian selanjutnya, apakah hubungan antara daerah faktorisasi tunggal dan daerah ideal utama berlaku sebaliknya. Selain sifat daerah ideal utama yang terkait dengan perluasan integral, penulis kemudian menyelidiki sifat lain dari daerah ideal utama. Apabila diberikan suatu daerah ideal utama, akan diselidiki apakah setiap ideal prima di dalam daerah ideal utama tersebut merupakan ideal maksimal. Selanjutnya, akan diselidiki apakah daerah ideal utama merupakan gelanggang Noetherian.

  1. Metode Penelitian

Metode dan langkah – langkah penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini diantaranya:

  • Memelajari konsep gelanggang komutatif, daerah integral, dan lapangan hasil bagi. Selain itu, dipelajari pula konsep – konsep ideal, yaitu ideal prima dan ideal maksimal.
  • Memelajari konsep daerah integral khusus, yaitu daerah polinomial, daerah ideal utama, dan daerah faktorisasi tunggal.
  • Memelajari konsep gelanggang khusus, yaitu gelanggang Noetherian beserta sifat – sifatnya.
  • Memelajari konsep faktorisasi tunggal di dalam daerah polinomial.
  • Memelajari konsep perluasan integral yang berkaitan dengan daerah ideal utama.
  • Memelajari konsep dasar daerah Dedekind terkait dengan daerah ideal utama.
  1. 3. Dasar Teori

3.1.  Gelanggang dan lapangan hasil bagi

Definisi 3.1.1 Gelanggang adalah himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan pergandaan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

  1. merupakan grup komutatif.
  2. Operasi bersifat asosiatif.
  3. Berlaku sifat distribusi kanan dan distribusi kiri yaitu untuk setiap berlaku .

Definisi 3.1.2.  Gelanggang komutatif dengan unity dikatakan daerah integral  jika   tidak memuat pembagi nol.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai definisi unit dan lapangan dari gelanggang dengan unity dan beberapa teorema yang berkaitan dengan lapangan.

Definisi 3.1.3. Diberikan gelanggang  dengan unity . Suatu elemen  disebut unit jika  di dalam  berarti terdapat  dengan . Suatu  gelanggang komutatif  unity  disebut lapangan jika untuk setiap elemen  merupakan unit di dalam .

Proposisi berikut memberikan suatu hubungan antara lapangan dan daerah integral.

Proposisi 3.1.4. Setiap lapangan adalah daerah integral

Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan dari gelanggang ke gelanggang  yang mengawetkan kedua operasi biner yang melekat pada kedua gelanggang tersebut. Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai homomorfisma gelanggang dan beberapa istilah yang berkaitan dengan homomorfisma gelanggang. Berikut ini akan dijelaskan mengenai definisi dari homomorfisma gelanggang beserta contohnya.

Definisi 3.1.5. Diberikan gelanggang  dan gelanggang . Suatu pemetaan  dari gelanggang  ke  dinamakan homomorfisma gelanggang jika untuk setiap  berlaku :

  1. i) .
  2. ii) .

Diberikan homomorfisma gelanggang  dari  ke  . Apabila  bersifat injektif , maka  disebut monomorfisma gelanggang. Apabila  bersifat surjektif, maka  disebut epimorfisma gelanggang. Apabila  bersifat bijektif , maka  disebut isomorfisma gelanggang. Apabila terdapat isomorfisma dari  ke , maka  dikatakan isomorfis dengan , ditulis .

 

Definisi 3.1.6. Diberikan  daerah integral. Lapangan  disebut lapangan hasil bagi (field quotient atau field fraction) dari  jika  memuat  gelanggang bagian yang isomorfik dengan  dan setiap elemen dari  dapat ditulis  dengan  dan . Lapangan  juga biasa dinotasikan sebagai .

3.2 Daerah Polinomial

Teorema 3.2.1. Jika   daerah integral maka  daerah integral.

Karena himpunan polinomial  merupakan daerah integral dengan  daerah integral, maka di dalam pembahasan selanjutnya, penulis menyebut sebagai daerah polinomial .

3.3. Ideal dan Gelanggan Faktor

Definisi 3.3.1. Diketahui  gelanggang dengan elemen satuan dan . Himpunan  dinamakan ideal dari  jika dan hanya jika  memenuhi ketiga aksioma berikut:

  1. merupakan subgrup dari  terhadap operasi penjumlahan yaitu untuk setiap  berlaku .
  2. untuk setiap dan  dengan .
  • untuk setiap  dan untuk setiap  dengan .

Definisi 3.3.2. Suatu daerah integral  dinamakan daerah ideal utama jika setiap ideal di dalam  merupakan ideal utama.

Lemma 3.3.4. Diberikan gelanggang komutatif  dengan elemen satuan dan  ideal sejati dari . Himpunan  merupakan gelanggang terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian koset sebagai berikut:

(i)

(ii)

Maka  dinamakan gelanggang kuosen  terhadap  atau gelanggang faktor  terhadap  atau gelanggang kelas residu terhadap . Elemen dari  berbentuk  untuk setiap  dan biasanya disimbolkan .

Definisi 3.3.5. Diberikan gelanggang komutatif dan  ideal dari  dengan . Ideal  dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal lain  di dalam  sedemikian hingga .

Teorema 3.3.6. Diberikan  gelanggang komutatif dengan unity maka adalah ideal maksimal jika hanya  jika  adalah lapangan.

Definisi 3.3.7 Diberikan gelanggang komutatif  dan  ideal dari . Ideal  dari ring  dikatakan ideal prima dari   jika  mengakibatkan  atau .

Teorema 3.3.8. Diketahui  gelanggang komutatif dengan unity dan  ideal dari . Ideal  merupakan ideal prima jika dan hanya jika  merupakan daerah integral.

Teorema 3.3.9. Diketahui  gelanggang komutatif dengan unity dan  ideal dari . Jika  ideal maksimal maka  ideal prima.

Proposisi 3.3.10. Jika  adalah daerah ideal utama, maka setiap ideal prima tak nol  adalah ideal maksimal.

3.4. Daerah Faktorisasi Tunggal

Definisi 3.4.1. Diberikan daerah integral . Daerah integral dinamakan daerah faktorisasi tunggal  jika memenuhi :

  • Setiap bukan unit dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah berhingga elemen iredusibel.
  • Jika dan  dua macam faktorisasi dari suatu elemen  dengan  elemen iredusibel maka , dan apabila perlu dengan mengubah urutan, diperoleh  berasosiasi dengan .

Teorema 3.4.2. Diberikan  daerah ideal utama dan ,  bukan unit. Setiap  elemen  dapat dinyatakan sebagai hasil kali elemen – elemen iredusibel.

Teorema 3.4.3 Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal.

3.5. Gelanggang Noetherian

            Di dalam gelanggang, pasti memiliki ideal minimal dirinya sendiri, atau ideal tak sejati. Jika suatu gelanggang memiliki ideal lebih dari satu, maka dapat dihubungkan ideal yang satu dengan ideal yang lain yang dimiliki ideal tersebut.  Ketika ideal – ideal tersebut membentuk rangkaian naik dalam suatu gelanggang, namun memiliki elemen maksimal, maka membentuk struktur gelanggang yang baru, yang dinamakan gelanggang Noetherian.

Definisi 3.5.1 Jika  adalah gelanggang dan setiap rangkaian naik ideal – ideal di dalam  yaitu  terdapat  sedemikian sehingga  untuk setiap  maka  dinamakan gelanggang Noetherian.

Untuk menunjukkan suatu gelanggang merupakan gelanggang Noetherian tidak selalu langsung menggunakan definisi. Alternatif lain yang dapat dilakukan dan bisa jadi mempermudah dalam pembuktian, untuk menunjukkan suatu gelanggang merupakan gelanggang Noetherian dengan menggunakan karakteristik gelanggang Noetherian sebagaimana dijelaskan dalam teorema berikut :

Teorema 3.5.2 Jika  gelanggang maka pernyataan berikut ekuivalen :

  • Setiap koleksi tak kosong dari ideal – ideal di mempunyai elemen
  • Setiap ideal di dibangun secara berhingga.

Proposisi 3.5.3. Setiap daerah ideal utama  merupakan gelanggang Noetherian.

  1. Perluasan Integral Dari Daerah Ideal Utama

4.1. Faktorisasi Tunggal di Dalam Daerah Polinomial

Penjelasan mengenai daerah faktorisasi tunggal merupakan kasus khusus ketika suatu daerah integral memenuhi dua syarat.  Faktorisasi tunggal ternyata juga berlaku dalam daerah polinomial yang memuat polynomial – polinomial yang koefisiennya merupakan lapangan.

Teorema 4.1.1. (Hungerford, hal 90) Diberikan lapangan . Setiap polinomial tak nol  dalam  merupakan hasil kali dari polinomial iredusibel dalam . Lebih lanjut, faktorisasi dalam  bersifat tunggal, yaitu jika  dan  dengan  dan  polinomial iredusibel, maka  dan apabila perlu dengan mengubah urutan maka diperoleh  berasosiasi dengan .

4.2.  Faktorisasi Tunggal di Dalam Daerah Polinomial

Secara umum, faktorisasi tunggal berlaku pada daerah integral yang memenuhi dua syarat. Namun, dalam daerah daerah integral yang memuat polinomial dengan koefisien daerah integral, yang dikatakan daerah polinomial, juga berlaku faktorisasi tunggal di dalamnya.

Lemma 4.2.1. (Lemma Gauss) (Hungerford, hal 263) Jika  daerah faktorisasi tunggal  maka hasil kali polinomial primitif di dalam   juga  polinomial primitif di dalam  .

Teorema 4.2.2 (Hungerford, hal 264) Diberikan daerah faktorisasi tunggal  dan  merupakan elemen tak nol di dalam. Jika  dan  merupakan polinomial primitif di dalam  sedemikian sehingga  maka  dan  saling berasosiasi di dalam, serta  dan  saling berasosiasi di dalam .

Akibat 4.2.3 (Hungerford, hal 264) Diberikan daerah faktorisasi tunggal  dan  merupakan lapangan hasil bagi dari . Polinomial  dan merupakan polinomial primitif di dalam . Jika  dan  saling berasosiasi di dalam  maka  dan  saling berasosiasi di dalam .

Akibat 4.2.4 (Hungerford, hal 264) Diberikan daerah faktorisasi tunggal  dan  merupakan lapangan hasil bagi dari . Jika  merupakan polinomial iredusibel berderajat positif di dalam , maka  juga polinomial iredusibel di dalam .

Teorema 4.2.5 (Hungerford, hal 265) Jika  daerah faktorisasi tunggal maka  merupakan daerah faktorisasi tunggal.

Akibat dari Teorema 4.2.5 bahwa ketika dapat menunjukkan bahwa suatu daerah integral merupakan daerah faktorisasi tunggal, maka daerah polinomial pasti merupakan daerah faktorisasi tunggal. Dalam akibat berikut, diberikan akibat ketika daerah faktorisasi tunggalnya berupa himpunan bilangan bulat .

Akibat 4.2.6 (Hungerford, hal 266 )  merupakan daerah faktorisasi tunggal.

4.3. Hubungan antara Daerah Ideal Utama dan Daerah Faktorisasi Tunggal

Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal. Selanjutnya, akan diselidiki apakah berlaku hubungan  sebaliknya, yaitu setiap daerah faktorisasi tunggal merupakan daerah ideal utama, ternyata jawabannya adalah tidak. Contoh penyangkalnya, yaitu daerah polinomial  dengan  daerah integral.

Proposisi 4.3.1 (Dummit Foote, hal 252)  bukan merupakan daerah ideal utama.

4.4. Perluasan Integral dari Daerah Ideal Utama

Definisi 4.4.1  (Dummit Foote, 2004, hal 691) Diberikan gelanggang komutatif  dengan unity dan  merupakan gelanggang bagian dari .

  • Suatu elemen disebut integral atas  jika  merupakan akar dari polinomial monik di dalam .
  • Gelanggang disebut perluasan integral dari  jika untuk setiap   adalah integral atas . Dalam hal ini, gelanggang dikatakan tertutup secara integral (integrally closed) di dalam

Definisi 4.4.2 (William Stein, 2005, hal 29) Daerah integral  dikatakan tertutup secara integral di dalam lapangan hasil bagi , jika untuk setiap  di dalam lapangan hasil bagi   dan  merupakan akar dari polinomial monik  maka .

Proposisi 4.4.3 (Rotman, 2003, hal 925) Diberikan  daerah integral dan  adalah lapangan hasil bagi dari . Jika  daerah faktorisasi tunggal maka  tertutup secara integral. Jika daerah ideal utama maka  tertutup secara integral.

Definisi 4.4.4 (William Stein, Hal 30) Daerah integral  disebut daerah Dedekind (Dedekind domain) jika  gelanggang Noetherian, tertutup secara integral dalam lapangan hasil baginya, dan ideal prima tak nol dari  merupakan ideal maksimal.

Tanpa menunjukkan tiga karakteristik daerah Dedekind, dapat ditentukan suatu daerah integral merupakan daerah Dedekind, sebagaimana dijelaskan proposisi berikut :

Proposisi 4.4.5 (Dummit Foote, Hal 764) Setiap daerah ideal utama  merupakan daerah Dedekind.

  1. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan pembahasan yang telah diberikan pada bab – bab sebelumnya, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

  • Apabila diberikan gelanggang komutatif dengan unity, maka ideal maksimal  di dalam  merupakan ideal prima, namun tidak berlaku sebaliknya. Syarat  perlu agar kebalikannya berlaku jika  merupakan daerah ideal utama.
  • Apabila diberikan daerah ideal utama maka  juga merupakan daerah faktorisasi tunggal, namun kebalikannya tidak berlaku. Dalam hal ini, dapat ditunjukkan dengan contoh penyangkal, yaitu .
  • Apabila diberikan daerah ideal utama maka  tertutup secara integral. Selain itu, dengan adanya sifat – sifat lain yang dimiliki daerah ideal utama, yaitu  gelanggang Noetherian dan ideal prima di dalamnya merupakan ideal maksimal maka  merupakan daerah Dedekind.

5.2 Saran

Dalam makalah ini telah dibahas mengenai sifat dari daerah ideal utama terkait dengan perluasan integral dan .hubungan antara daerah faktorisasi tunggal dan daerah ideal utama. Selain itu,  dibahas pula suatu sifat yang mengaitkan antara daerah ideal utama dan daerah Dedekind bahwa setiap daerah ideal utama merupakan daerah Dedekind. Dengan demikian, perlu adanya pembahasan lebih lanjut mengenai hubungan daerah faktorisasi tunggal dan daerah Dedekind serta hubungan antara daerah ideal utama  dan daerah Dedekind, diantaranya :

  • Apabila diberikan daerah Dedekind , apakah merupakan daerah ideal utama.
  • Apabila diberikan daerah Dedekind , apakah merupakan daerah faktorisasi tunggal.

REFERENSI

Ash, R.B., 2000, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Robert B. Ash.

Dummit, D.S. dan Foote, R.M., 2004, Abstract Algebra, edisi 3, John Wiley & Sons Inc., New York.

Gallian, J.A., 1990, Contemporary Abstract Algebra, edisi 2, D.C Heath and Company, Kanada.

Hungerford, T.W., 1974, Algebra, Springer Verlag Inc., New York

Hungerford, T.W., 1996, Abstract Algebra an Introduction, Saunders College Publishing.

Isnarto, 2008, Struktur Aljabar – Pengantar Teori Ring, edisi 2, Bahan Ajar, FMIPA Universitas Negeri Semarang, Semarang

Judson, T.W., 1997, Abstract Algebra Theory and Applications, Thomas W. Judson, 27 August 2010, diakses tanggal 21 September 2010.

Milne, J.S., 2008, Algebraic Number Theory, Version 3.02, http://www.jmilne.org/math/, 30 April 2009, diakses tanggal 21 September 2010.

Rotman, J.J., 2003, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey.

Rotman, J.J., 2000, A First Course in Abstract Algebra, edisi 3, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey.

Stein, W., 2005, Introduction to Algebraic Number Theory, William Stein,  5 May 2005, diakses tanggal 7 Oktober 2010

Yuwaningsih, D.A., 2010, Beberapa Sifat Dari Ring Bersih – N dan Ring Bersih – N Kuat, Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta.