ANALISIS STABILITAS MODEL PENANGKAPAN IKAN DI LAUT YANG DIPENGARUHI PREDATOR PADA DAERAH KONSERVASI


PROSIDING || Seminar Nasional || Menyiapkan Pendidikan Matematika Dalam Menghadapi MEA
14 Mei 2016 || ISBN: 978-979-8559-72-3
Penerbit : Universitas PGRI Adi Buana Surabaya

Penulis  : Fauziyah

PDF

Bangsa Indonesia memiliki luas wilayah perikanan di laut sekitar 5,8 juta km2. Berdasarkan data yang diperoleh, bangsa Indonesia masih memanfaatkan 80% dari potensi sumber daya penangkapan ikan di laut yang diperkirakan 6,4 juta per tahun sedangkan dibeberapa wilayah Indonesia terdapat penangkapan ikan berlebih (over-fishing). 

Penangkapan ikan yang berlebih mengakibatkan dampak negatif bagi ekosistem laut sehingga digagas upaya perlindungan dengan kebijakan konservasi. Di dalam penelitian ini akan dianalisis kestabilan model penangkapan ikan di laut yang dipengaruhi predator burung pada daerah konservasi dan bebas tangkap. Model predator-prey yang digunakan merupakan model non-linear tiga dimensi.Dimana Prey adalah ikan yang berada pada daerah konservasi dan daerah bebas tangkap, sedangkan predator adalah burung yang juga berada pada kedua daerah tersebut.Dari analisis yang telah dilakukan

diperoleh perubahan keadaan setimbang antara populasi prey dan predator burungdi daerah konservasi dan bebas tangkap.

Kata Kunci : Konservasi, Kestabilan, Predator-Prey

 

ANALYSIS OF STABILITY MODEL IN FISHERIES THAT AFFECTED
BY PREDATOR IN THE CONSERVATION AREA

The Indonesian nation has an area of fisheries in approximately 5.8 million km2. Based on the data obtained, the Indonesian people still utilize 80% from the potential resource of fisheries in the sea that are expected to reach 6.4 million per year, while in several Indonesian territory there is over-fishing. Over-fishing resulted in a negative impact on the marine ecosystem so initiated the safeguard through conservation. In this research, it will be analyzed the stability of the fisheries model in the sea that is affected by predator bird in conservation and fishing -free areas. Predator -prey models used is non-linear model of three dimensions. Where Prey is the fish that are in the conservation and fishing -free areas, while the predators are birds that are also in both areas. From the analysis has been done, obtained changes in the equilibrium state between prey and predator populations of birds in conservation andfishing -free areas.

Keywords: Conservation, Predator-Prey, Stability

 

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Bangsa Indonesia memiliki luas wilayah perikanan di laut sekitar 5,8 juta km2. Fakta tersebut menunjukkan bahwa hasil perikanan laut merupakan salah satu sumber daya yang berperan penting dalam kelangsungan perekonomian dan pertumbuhan penduduk baik dari segi kuantitas maupun keanekaragamannya.Berdasarkan data yang diperoleh, bangsa Indonesia masih memanfaatkan potensi sebesar 80% dari potensi sumber daya penangkapan ikan di laut yang diperkirakan 6,4 juta per tahun. Data tersebut menunjukkan bangsa Indonesia belum dapat memanfaatkan hasil sumber daya secara maksimal, namun dibeberapa wilayah Indonesia terdapat penangkapan ikan berlebih (over-fishing) diantaranya di Laut Jawa dan Selat Malaka, sedangkan di Wilayah Timur Indonesia sebagian besar tingkat pemanfaatannya masih dibawah potensi yang ada.

Teknologi yang digunakan dan jumlah populasi ikan mempengaruhi hasil tangkap ikan dilaut.Salah satu faktor yang mempengaruhi jumlah populasi ikan adalah predator (pemangsa).Predator memangsa ikan yang lebih kecil dari volum tubuhnya sebagai sumber makanan untuk bertahan hidup. Selain predator terdapat permasalahan lain yang mempengaruhi jumlah populasi ikan yaitu over-fishing. Penangkapan ikan yang berlebih dapat menganggu ekosistem laut secara keseluruhan karena dapat memutus rantai makanan.Beberapa negara menggagas upaya perlindungan sumber daya alam karena dampak negatif bagi ekosistem laut yang ditimbulkan akibat over-fishing cukup besar, upaya perlindungan yang dilakukan adalah membuat kebijakan konservasi, tidak terkecuali dengan Bangsa Indonesia.

Kawasan yang dekat dengan pantai merupakan salah satu daerah yang ditetapkan sebagai daerah konservasi, daerah ini perlu dilindungi karena terdapat banyak terumbu karang dan pada umumnya ikan-ikan melakukan pemijahan di daerah ini.Meskipun daerah ini tidak diperkenankan untuk penangkapan ikan namun tidak menutup kemungkinan predator memangsa ikan yang ada di daerah konservasi.Predator yang dimaksud tidak hanya sebatas spesises ikan namun juga terdapat predator burung. Tanpa adanya batasan yang memisahkan antara daerah konservasi dan daerah bebas tangkap sehingga ikan-ikan predator dan prey yang ada di daerah tersebut dapat bermigrasi dari tempat satu ketempat yang lain. Faktor yang menyebabkan ikan bermigrasi diantaranya perubahan musim dan pasang surut air laut.

Di dalam penelitian ini akan dianalisis kestabilan model penangkapan ikan di laut yang dipengaruhi predator pada daerah konservasi. Model yang digunakan merupakan modifikasi dari model yang dibuat oleh Amit Sharma et al (2014) dan T.K Kar et al (2014).Model predator -prey dalam penangkapan ikan dikonstruksikan dalam tiga variabel, yaitu populasi ikan didaerah bebas tangkap, populasi ikan di daerah konservasi dan populasi predator.Di dalam penelitian ini, predator yang digunakan adalah burung.Model diasumsikan bahwa predator berada di daerah konservasi dan daerah bebas tangkap, predator juga saling berkompetisi untuk mendapatkan ikan-ikan mangsa namun predator tidak mengalami pemanenan.Pemanenan hanya dilakukan pada ikan-ikan mangsa dan

pemangsa di daerah bebas tangkap. Model yang telah didapat akan ditentukan titik kritis kemudian dilakukan analisis kestabilan dari setiap titik kritisnya sehingga dapat dilakukan kebijakan dalam penangkapan ikan agar tidak merusak ekosistem laut.

 

1.1 Rumusan Masalah

Dari uraian latar belakang di atas, permasalahan yang akan diteliti adalah Bagaimana kestabilan model penangkapan ikan di laut yang dipengaruhi predator burung pada daerah konservasi dan bebas tangkap.

 

1.2 Tujuan penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menjawab rumusan masalah yang telah di jabarkan, yaitu Menganalisis stabilitas model penangkapan ikan di laut yang dipengaruhi predator burung pada daerah konservasi dan bebas tangkap.

 

1.3 Manfaat

Pembahasan dalam penelitian ini diharapkan mampu memberi wawasan tentang kegiatan penangkapan ikan di laut dengan adanya predator dan konservasi laut.

 

2. Kajian Pustaka

2.1 Model Penangkapan Ikan yang Dipengaruhi Daerah Konservasi

Hubungan antara tingkat pertumbuhan alamiah (logistik) dengan upaya tangkap merupakan dinamika populasi ikan di laut yang digambarkan dalam model surplus produksi.Laju pertumbuhan populasi ikan ( ) ditentukan dari kemampuan reproduksi alamiah dan jumlah ikan yang ditangkap dari populasinya. Secara matematis laju pertumbuhan populasi ikan dapat dirumuskan sebagai berikut :

(2.1)

Dengan

= tingkat pertumbuhan alami populasi ikan , K = kapasitas maksimum laut dapat menampung ikan, jumlah ikan yang ditangkap pada waktu tertentu

 

memiliki hubungan proposional terhadap upaya penangkapan ikan ( ). Bila adalah indeks dari beberapa sarana produksi termasuk kapal dan alat tangkap standart, maka jumlah ikan yang ditangkap ( ) adalah

C = q.Ex                                                                                                                       (2.2)

Substitusikan persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2. 1), sehingga laju pertumbuhan populasi ikan yang mengalami penangkapan dapat ditulis :

(2.3)

Dalam penelitian ini, perairan laut dibagi menjadi dua daerah yaitu daerah konservasi dan daerah bebas tangkap. Segala aktivitas pemanfaatan sumber daya laut hanya dapat dilakukan di daerah bebas tangkap dengan syarat peralatan yang digunakan aman dan tidak merusak ekosistem laut.Sehingga laju pertumbuhan populasi ikan juga dibedakan menjadi dua. Berdasarkan Persamaan (2.3), laju pertumbuhan populasi di daerah bebas tangkap dan mengalami penangkapan dapat ditulis :

(2.4)

 

Sedangkan laju pertumbuhan populasi di daerah konservasi tanpa adanya penangkapan dapat ditulis :

(2.5)

Tanpa adanya batasan yang memisahkan antara daerah konservasi dan daerah bebas tangkap mengakibatkan ikan-ikan yang ada di daerah tersebut dapat bermigrasi dari tempat satu ketempat yang lain. Jika sebagian ikan di daerah bebas tangkap bermigrasi ke daerah konservasi sebanyak , sedangkan banyaknya ikan di daerah konservasi bermigrasi ke daerah bebas tangkap adalah

. Maka laju pertumbuhan populasi di daerah bebas tangkap pada Persamaan (2.4) menjadi

(2.6)

dan laju pertumbuhan populasi di daerah konservasi pada Persamaan (2.5) menjadi :

 

(2.7)

Dengan

Pada umumnya predator burung memangsa ikan-ikan yang lebih kecil dari volum tubuhnya sebagai sumber makanan utama untuk mempertahankan hidup, jika populasi predator burung tidak mendapatkan mangsa maka predator burung tidak akan mampu mempertahankan hidup. Bentuk matematika dapat ditulis sebagai berikut :

(2.8)

Dengan

= jumlah predator,

= angka kematian alami predator karena tidak mendapatkan mangsa (   )

Hal ini menunjukkan bahwa kelangsungan hidup predator burung bergantung sepenuhnya terhadap mangsa.

 

2.2 Definisi titik kritis

Titik                     dikatakan titik kritis dari fungsi ( ) jika ( ) ada dan memenuhi

salah satu dari

( )           atau ( ) tidak ada

Jika ( )                 maka disebut titik stasioner dan jika ( ) tidak ada maka

disebut titik singular (terisolir)

 

2.3 Konsep Linierisasi

Linearisasi merupakan hampiran dari persamaan diferensial nonlinear dengan persamaan linear untuk menyelesaikan suatu sisitem otonomous yang berbentuk

(2.10)

Dengan dan g adalah fungsi non-linear. Jika (                       ) adalah titik kritis dari

persamaan (2.10) dan diasumsikan pada titik kritis tidak terjadi perubahan yang mempengaruhi sistem, maka didapat

(2.11)

 

Selanjutnya akan dicari pendekatan sistem linear ( )disekitar (                                ).

Dengan melakukan ekspansi menurut Deret Taylor di sekitar (                                                                                                    ) maka

persamaan (2.10) menjadi (subiono 2013) :

(2.12)

NX V)+ –                                  (x-X.)+ –


dt
d ygax       da(xo,YxUY y

Persamaan akan diliniarisasi menggunakan teori gangguan kecil di titik kritisnya. Teori gangguan kecil ini mengasumsikan bahwa semua variabel diubah menjadi penjumlahan antara nilai kritis dengan gangguan.

x=0x+xo dany=0y+yo                                                       (2.13)

Dengan mensubstitusikan (2.11) dan (2.13) ke dalam persamaan (2.12) didapatkan

 

(2.14)

 

 

dan merupakan gangguan yang kecil terhadap titik kritisnya, sehingga perkalian antar gangguan dianggap nol. Oleh karena itu suku-suku tingkat dua

~ f                    y

keatas dapat diabaikan, didapatkan :

(          )                    (           )

x y                           x y

~ y

0 0             0 0 ~ fd

,    )

y 0

x                    y          o          eata

Titik

(                                                                  ) merupakan titik kritis yang diketahui nilainya sehingga persamaan

(          )                          (      )

x y                               x

~ y 0

(2.15) dapat ditulis dalam vektor sebagai berikut :

~ g

~ ~             ~ ~

x                      y

~         ~

f                          odo du a keatas

 

J[o j                              (2.16)

 

I

Matriks

disebut matriks Jacobian.Matriks ini selanjutnyaakan digunakan untuk mencari nilai karakteristik.

 

331

 

2.4 Kestabilan dan Nilai Karakteristik

2

2Kriteria kestabilan sistem dapat diketahui dengan mencari nilai karakteristik dari matriks Jacobian di sekitar titik kritis.

 

Definisi

Jika J adalah matriks persegi berukuran x              E       g          , maka vektor

tak nol di dalam dinamakan vektor karakteristik dari yang memenuhi :

(2.17)

Untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai karakteristik dari dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai karakteristik matriks yang berukuran x maka persamaan (2.17) dapat ditulis kembali sebagai

atau secara ekivalen(                 )                               (2.18)

Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika

e (        )                                                                                 (2.19)

Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik dari matriks Jika       matriks   0

1       dengan

(       )

~ (       )

(            )

~ (            )      dan             0

1          maka dapat diperoleh

Dengan akar-akar karakteristiknya adalah

 

(2.20)

 

3. Metode Penelitian

Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

  • Studi literatur
  • Menentukan Model predator-prey

Model yang digunakan dalam penelitian ini merupakan hasil modifikasi dari penelitian terdahulu. Kemudian menyusun asumsi yang sesuai dengan kondisi di Indonesia, diantaranya adalah :

  1. a) Adanya migrasi dari daerah konservasi ke daerah penangkapan dan sebaliknya;
  1. Predator dalam penelitian ini adalah burung yang berada di daerah konservasi dan daerah bebas tangkap;
  2. Di daerah bebas tanggkap predator juga menjadi mangsa ikan yang volum tubuhnya lebih besar;

Pemanenan dilakukan pada ikan di daerah bebas tangkap sedangkan predator burung tidak mengalami pemanenan.

  • Penyelesaian secara analitis kualitatif untuk mendapatkan interpretasi matematis

Setelah menetukan asumsi, tahap selanjutnya adalah menentukan kestabilan model dengan mencari titik kritis.Sifat dari titik kritis dianalis menggunakan nilai karakteristik. Sistem yang digunakan dalam model ini merupakan sistem nonlinear sehinga diperlukan pelinieran terlebih dahulu sebelum menentukan nilai karakteristiknya.

  • Analisis dan pembahasan
  • Penarikan simpulan

 

4. Pembahasan

4.1 Model Penangkapan Ikan yang Dipengaruhi Daerah Konservasi

Model predator prey yang digunakan merupakan model non-linear tiga dimensi.Dimana Prey adalah ikan yang berada pada daerah konservasi dan daerah bebas tangkap, sedangkan predator adalah burung yang juga berada pada kedua daerah tersebut. Daerah konservasi dan daerah bebas tangkap tidak terdapat sekat pemisah sehingga ikan maupun burung dapat berpindah dari satu tempat ke tempat yang lain.

Predator burung dapat memangsa ikan di daerah konservasi dan daerah bebas tangkap sehingga di kedua daerah tersebut terjadi penurunan populasi prey, dimana masing-masing daerah sebanyak . Pada daerah bebas tangkap,

predator burung juga menjadi mangsa ikan yang volum tubuhnya lebih besar, sehingga terjadi penurunan populasi burung sebanyak y . Model predator -prey

yang saling berinteraksi dengan asumsi predator tidak mengalami pemanenan adalah :

 

Dengan

x(t) =populasi prey di daerah bebas tangkap,                                    =populasi prey di daerah

konservasi,                 =populasi predator,                       =kapasitas maksimum di daerah bebas

tangkap,K =kapasitas maksimum di daerah konservasi r, =laju pertumbuhan
populasi prey di daerah bebas tangkap, =laju pertumbuhan populasi prey di

daerah konservasi, =kematian alami predator tanpa adanya mangsa, =
penurunan populasi prey di daerah bebas tangkap akibat predator,
,6 =penurunan populasi prey di daerah konservasi akibat predator, =penurunan

populasi predator akibat dimangsa,                                    =peningkatan populasi predator

akibat memangsa di daerah bebas tangkap, = peningkatan populasi predator akibat memangsa di daerah konservasi, =peningkatan populasi prey di daerah bebas tangkap akibat memangsa predator, = koefisien kemampuan memanen prey di daerah bebas tangkap, =upaya memanen populasi prey di daerah bebas tangkap, = banyaknnya prey yang bermigrasi masuk ke daerah konservasi, =banyaknyaprey yang bermigrasi keluar dari daerah konservasi,

dan K„Kz,r,rz,m,~h,mz,~i,kz,4~,a,Q,Y,E, >0

 

4.2 Titik kritis

Untuk menyederhanakan model yang telah didapatkan pada Persamaan y(4.1), maka diasumsikan penurunan jumlah populasi prey dan predator baik di daerah konservasi dan daerah bebas tangkap dianggap sama ( ) dan peningkatan jumlah populasi prey dan predator baik di daerah konservasi dan daerah bebas tangkap dianggap adalah sama ( ). Persamaan (4.1) menj adi

 

(4.2)

 

Dimana

Persamaan ini akan dilinearisasi menggunakan teori gangguan kecil di titik kritisnya. Berdasarkan Konsep Linerisasi maka sistem persamaan (4.2) menjadi :

K,

(4.3)

Dari persamaan (4.3c) terdapat tiga kemungkinan titik kritis yaitu :

(4.4)
4.3 NilaiEigen

Dari Persamaan (4.3) diperoleh matriks Jacobian A, yaitu :

 

(4.5)

Dengan mensubstitusikan titik kritis pada matriks Jacobian sehingga didapat nilai

~

eigen sebagai berikut :

4.3.1 Nilai Eigen Pada Titik Kritis          (                  ) 1                     1 )(

Setelah melakukan perhitungan untuk mencari nilai eigen diperoleh suatu

)

persamaan pangkat tiga, yaitu :

(4.6)

Dengan

 

4.3.2 Nilai Eigen Pada Titik Kritis ( ~ ~ )

Setelah melakukan perhitungan untuk mencari nilai eigen diperoleh suatu persamaan pangkat tiga, yaitu :

(4.7)

 

4.3.3 Nilai Eigen Pada Titik Kritis 3 (                          z )

Setelah melakukan perhitungan untuk mencari nilai eigen diperoleh suatu persamaan pangkat tiga, yaitu :

(5.16)

dengan

 

4.4 Analisis Kestabilan dan Pembahasan

Dalam penulisan ini model predator -prey dipengaruhi oleh daerah konservasi. Tanpa adanya batasan antara daerah bebas tangkap dengan konservasi sehingga memungkinkan prey dan predator untuk saling berpindah tempat diantara kedua daerah tersebut. Populasi prey yang migrasi masuk ke daerah konservasi ( ) berarti sama dengan populasi prey yang migrasi keluar dari daerah bebas tangkap, sedangkan populasi predator yang migrasi keluar dari daerah konservasi ( )sama dengan populasi predator yang migrasi masuk ke  daerah bebas tangkap. Akan tetapi sebagai variabel manipulasi sedangkan dan parameter yang lain ditetapkan nilainya. Nilai parameter disubstitusikan untuk mendapatkan titik kritis dan nilai eigen sehingga dapat dianalisis kestabilannya.

Pada kasus pertama dengan menunjukkan bahwa jumlah populasi prey yang masuk ke daerah konservasi lebih sedikit jika dibandingkan dengan populasi prey yang keluar. Titik kritis yang stabil dalam kasus ini berada pada titik P (                                               ). Pada titik ini jumlah predator burung nol, hal ini menunjukkan bahwa tidak ada predator burung yang memangsa prey baik di daerak konservasi maupun di daerah bebas tangkap. Tidak adanya predator burung sehingga populasi prey yang berada pada daerah konservasi tumbuh semakin banyak meskipun jumlah populasi prey yang keluar dari daerah konservasi lebih besar.

Pada kasus kedua dengan menunjukkan jumlah populasi prey yang bermigrasi keluar dari daerah konservasi sama dengan jumlah populasi prey yang bermigrasi masuk ke daerah konservasi. Pada kasus ini titik kritis yang didapat tidak menghasilkan titik yang stabil, meskipun jumlah yang keluar sama dengan yang masuk. Pada titik kritis P ( 9 ) dapat dianalisis jumlah populasi prey didaerah bebas tangkap lebih tinggi jika dibandingkan dengan jumlah prey di daerah konservasi, sedangkan populasi predator burung paling sedikit jika dibandingkan dengan populasi yang lain.

Pada kasus ketiga dengan menunjukkan bahwa jumlah populasi prey yang bermigrasi keluar dari daerah konservasi lebih sedikit jika dibandingkan dengan jumlah populasi prey yang masuk ke daerah konservasi. Titik kritis yang stabil dalam kasus ini berada pada titik P ( 9). Pada titik ini jumlah prey pada daerah bebas tangkap paling banyak, meskipun migrasi prey ke daerah bebas tangkap lebih sedikit. Pada titik P kasus ketiga dapat diketahui bahwa jumlah populasi predator burung paling sedikit, hal ini mengakibatkan mangsa melimpah sehingga jumlah popolasi prey pada daerah konservasi dan bebas tangkap jumlahnya banyak.

 

5. Simpulan

Dalam penulisan ini dilakukan analisis kestabilan untuk tiga kasus yang berbeda.Dari hasil analisis ada beberapa kasus yang tidak memiliki titik kritis sehingga tidak dapat ditentukan nilai eigennya.Berdasarkan manipulasi nilai dapat diketahui bahwa semakin kecil nilai                       (banyak populasi prey yang
bermigrasi masuk ke daerah bebas tangkap) maka jumlah populasi predator burung pada daerah konservasi dan bebas tangkap semakin besar. Sedangkan jumlah populasi prey pada daerah konservasi dan bebas tangkap semakin kecil.

 

Daftar pustaka

Bellono, N and L. Preziosi, (1995), “Modeling mathematical Methods and Scientific Computation, Florida : CRC Press.

Dermawan Agus, (2013),”Informasi Kawasan Konservasi Perairan Indonesia”, Dit KKJI : Jakarta.

Finizio, N and Ladas, G, (1988), “Ordinary Differential Equation with Modern Application”, Calivornia : Wadsworth Publishing Company.

Kar, T.K and Pahar, U,K, (2007), “A Model for Prey-Predator Fishery with Marine Reserve”, Journal of Fisheries and Aquatic Science, ISSN 1816- 4927 Hal 195-205.

Kar, T.K, (2006), “A Model For Fishery Resource with Reserve Area and Facing Prey_Predator Interactions”, Canadian Applied Mathematics Quarterly Vol 14, No 4, Hal 385-399.

Mulyana, Yaya, (2006), “Strategi Utama Jejaring kawasan Konservasi Laut, Departemen Kelautan.

Sharman, Amit and Gupta, Bhanu (2014), “Harvesting Model for Fishery Resource with Reserve Area and Bird Predator”, Journal Of Marine Biology Vol 2014, Article ID 218451.

Srinivas, M.A.S dkk, (2013), “Analysis of a Fishery Model with Stage Structure of Predator and harvesting of Prey”, International Journal of Mathematical Archeve-4 (7), hal 158-167.

Subiono, (2013),” Sistem Linear dan Kontrol Optimal”, Diktat Kuliah Jurusan Matematika ITS : Surabaya

Zhang, Rui dkk (2007), “Analysis of a Prey-Predator Fishery Model with Prey Reserve”, Applies Mathematical Science, Vol. 1, no 50, hal. 2481-2492.