SEMIRING PRIMA KUAT


Seminar Nasional Matematika 2015 || Membangun Tradisi Pembelajaran Matematika Yang Menyenangkan
30 Mei 2015 || ISBN: 978-979-8559-54-9
Penerbit : Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Adi Buana Surabaya

Penulis  : Hanim Faizah

PDF

Abstrak

Semiring sudah dikenal dan dipelajari oleh ilmuwan-ilmuwan di dunia sejak dulu. Sejak ditemukan hingga saat ini, sudah banyak sekali pengembangan dari semiring. Di antara berbagai macam semiring tersebut salah satunya adalah Semiring Prima Kuat yang diperkenalkan oleh T.K. Dutta dan M.L. Das pada tahun 2006 dalam karyanya yang berjudul On Strongly Prime Semiring.

Dalam artikel ini dibahas tentang pengertian dan beberapa sifat dari semiring prima kuat. Himpunan tak-kosong S dengan dua operasi biner disebut semiring jika setiap anggota S memenuhi sifat tertutup dan assosiatif, mempunyai elemen identitas 0 pada operasi pertama, memenuhi sifat distributif  kanan dan distributif kiri, serta setiap anggota s jika dioperasikan dengan operasi kedua dengan 0 akan sama dengan 0. Suatu semiring (S, +, ·) selanjutnya dapat disebut Semiring Prima Kuat jika setiap elemen tak-nol dari S mempunyai insulator kanan S(r), dimana insulator kanan S(r) adalah subset finit dari S sehingga dapat dibentuk himpunan A={r·s|sÎS(r)} yang memenuhi annR(A)={tÎS|At=0}={0}.

Kata kunci: semiring, semiring prima kuat

 

PENDAHULUAN

Semiring sudah lama dikenal, dan sudah dipelajari oleh ilmuwan-ilmuwan dari berbagai negara di dunia. Semiring sendiri merupakan perluasan dari ring, di mana untuk setiap ring merupakan semiring, tetapi semiring belum tentu memenuhi ring. Sejak ditemukan hingga saat ini, sudah banyak sekali macam semiring yang ditemukan, salah satunya adalah Semiring Prima Kuat

Pada tahun 2006, T.K. Dutta dan M.L Das, dalam tulisannya yang berjudul On Strongly Prime Semiring, memperkenalkan tentang semiring prima kuat. Di mana pengertian semiring prima kuat adalah semiring yang setiap elemen tak-nolnya mempunyai insulator kanan.

Dalam artikel ini akan dibahas tentang pengertian beserta sifat-sifat Semiring Prima Kuat. Sedangkan metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka. Yang diawali dengan mengaji tentang pengertian serta sifat-sifat semigrup dan semiring yang nantinya akan digunakan sebagai landasan untuk membuktikan teorema maupun proposisi yang berkaitan dengan semiring prima kuat.

 

PEMBAHASAN

1. SEMIRING

1.1 Definisi

Himpunan tak kosong S dengan dua operasi biner yang berurutan, yaitu “+” dan “·”, disebut semiring jika memenuhi syarat berikut:

  1. (S, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen identitas;
  2. (S, ) adalah semigrup;
  • Untuk sebarang a,b,cÎS, berlaku sifat distributif kanan dan kiri sebagai berikut:

a·(b+c) = (a·b)+(a·c),

(a+b)·c = (a·c)+(b·c);

  1. s0 = 0·s = 0, untuk semua sÎS, di mana 0 adalah elemen identitas pada operasi +.

 

Himpunan S yang membentuk semiring dengan dua operasi biner pada S, “+” dan “·”, dinotasikan dengan (S, +, ·). Selanjutnya jika S memuat elemen identitas pada operasi “·”, maka S disebut semiring dengan unsur kesatuan.

 

1.1 Contoh :

Misalkan diketahui himpunan  dengan merupakan himpunan semua bilangan asli. dengan dua operasi biner + dan ´, akan memenuhi syarat-syarat untuk semiring, yaitu:

  1. (, +) merupakan semigrup komutatif dengan elemen identitasnya adalah 0.
  2. (, ´) merupkan semigrup.
  • Untuk setiap a, b, c Îakan memenuhi sifat distributif kanan dan distributif kiri, yaitu sebagai berikut:

(a + b) ´ c = (a ´ c) + (b ´ c)

a´ (b + c) = (a ´ b) + (a ´ c)

  1. Untuk setiap a Îakan memenuhi:

a´ 0 = 0 ´ a = 0

Sehingga  dengan operasi + dan ´ merupakan semiring, dan dinotasikan dengan (, +,´).  Karena ada 1 Πsedemikian sehingga untuk setiap a Πberlaku a ´ 1 = 1 ´a = a, maka 1 merupakan unsur kesatuan pada. Jadi (, +, ´) merupakan semiring dengan unsur kesatuan.

 

1.2 Definisi

Subset tak kosong I dari semiring (S, +,·) disebut ideal kiri pada S jika memenuhi:

  1. “a, b Î I berlaku a+b Î I, dan
  2. “aÎ I dan “s Î S berlaku sa Î I.

Sedangkan I disebut ideal kanan pada S jika memenuhi:

  1. “a, b Î I berlaku a+b Î I, dan
  2. “aÎ I dan “s Î S berlaku as Î I.

I disebut ideal dua sisi pada S jika I merupakan ideal kanan dan ideal kiri pada S.

 

Definisi 1.3

Ideal I pada semiring S disebut ideal-k jika bÎS, a+bÎI dan aÎI maka bÎI.

 

Contoh 1.2:

Diketahui semiring (, +, ´), di mana  adalah himpunan semua bilangan bulat. 2 adalah subset dari . 2 merupakan ideal dari  karena untuk setiap a,bÎ2, a+bÎ2 dan untuk sebarang cΠmaka a´c = c´a Î2.

2 merupakan ideal-k karena untuk bÎ, a+bÎ2 dan aÎ2, maka bÎ2.

 

Definisi 1.4

Semiring S disebut semiring simpel jika ideal-ideal pada S hanya ideal {0} dan S sendiri.

 

Contoh 1.3

Misal diketahui =himpunan bilangan bulat modulo 5. (, +5, ´5) membentuk semiring. merupakan semiring simpel, karena ideal pada  hanyalah ideal {0} dan  sendiri.

 

Definisi 1.5

Misalkan A subset tak kosong dari semiring (S, +, ·). Annihilator kanan dari A di S, dinotasikan dengan annR(A), didefinisikan annR(A) = {sÎS | As = {0}} dengan As = {a · s | a Î A}.

 

Contoh 1.4:

Diketahui semiring () dengan  adalah himpunan semua bilangan bulat modulo 10. Misal AÍ dengan A = {2, 4, 6, 8}, maka dapat diketahui annR(A) = {p Î| Ap = {0}} = {0, 5}.

 

Definisi 3.7

Semiring S disebut semiring prima jika untuk sebarang dua ideal pada S, misal H dan K, dan HK={h·k | hÎH, kÎK}={0}, maka H={0} atau K={0}.

 

Contoh 3.7:

Semiring (, +, ´) dengan  adalah himpunan semua bilangan bulat, merupakan semiring prima. Karena untuk sebarang dua ideal pada , misal H dan K, HK={0} jika H={0} atau K={0}.

 

2. SEMIRING PRIMA KUAT

2.1 Definisi

Misalkan (S, +, ·) semiring dan rÎS*. Insulator kanan untuk r adalah subset finit tak-kosong S(r) dari S yang memenuhi annR({r·s | sÎS(r)}) = {0}. Insulator kanan dari rÎS* tidak selalu tunggal.

Di mana S* merupakan notasi dari himpunan semua elemen tak-nol pada himpunan tak kosong S.

 

2.2 Definisi

Semiring (S, +, ·) disebut semiring prima kuat jika setiap elemen tak-nol pada S mempunyai insulator kanan.

 

2.1 Contoh:

Misalkan diketahui semiring (, +3, 3).  = {1, 2}. Ambil sebarang rÎ, misal untuk r =1. Insulator kanan untuk 1 adalah (1)={1, 2}. Dapat dibentuk himpunan A={1 ´3 s | s Î(1)}={1, 2}, sehingga memenuhi:

annR(A)={bÎ'”rÎA, r´3b = 0} = {0}  …(1)

Untuk r = 2, insulator kanan untuk 2 yaitu (2) = {1, 2}. Dapat dibentuk himpunan B={2 ´3 s | s Î(2)}={1, 2}, sehingga memenuhi:

annR(B)={b Î’rÎB, r´3b = 0} = {0}  …(2)

Dari (1) dan (2) diketahui bahwa untuk setiap elemen tak nol pada  selalu ada insulator kanan (r). Maka  merupakan semiring prima kuat.

 

2.1 Proposisi

Semiring prima kuat merupakan semiring prima.

 

2.2 Contoh:

Semiring (, +, ´) merupakan contoh semiring prima kuat. Misalkan H dan K adalah dua ideal pada , dengan HK={h´k | hÎH, kÎK}={0}, sehingga mengakibatkan H={0} atau K={0}. Maka  merupakan semiring prima.

 

2.1 Teorema

Semiring (S, +, ·) finit dengan unsur kesatuan merupakan semiring prima kuat, jika dan hanya jika setiap ideal I pada S, dengan I¹{0}, memuat ideal kiri terbangun finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

Bukti:

1. Bukti ke kanan

Misal diketahui (S, +, ·) semiring prima kuat dengan unsur kesatuan, S finit, dan I adalah ideal dari S, dengan I ¹ {0}. Misal rÎI, r ≠ 0. Karena S adalah semiring prima kuat maka r punya insulator kanan, misal S(r).

S(r) adalah subset finit dari S, maka rS(r) finit, dan rS(r) Í I. Ambil sebarang anggota di rS(r), misal (ra).  = {s·(ra) | s Î S} adalah ideal kiri yang terbangun oleh ra di S, dan  finit.

Selanjutnya, annR () = {t Î S |t ={0}} = {0}.

Jadi karena rS(r) Í I, ra Î rS(r) dan I adalah ideal di S, maka Í I. Dan diperoleh bahwa annR()={0}.

 

Sehingga ideal I dari semiring prima kuat S memuat ideal kiri terbangun oleh ra yang annihilator kanannya {0}.

 

2. Bukti ke kiri

Misal diketahui semiring S dengan unsur kesatuan 1, dan S finit, setiap ideal tak-nol S memuat ideal kiri terbangun finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

Misal rÎS*,  merupakan ideal tak-nol dari S. Berdasarkan yang telah diketahui di atas, maka ada subset finit F dari ideal  yang annihilator kanan dari ideal kiri yang dibangun oleh F adalah {0}. FÍ dan 0ÏF, maka elemen-elemen di F dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan   atau  sama dengan 1.

Kemudian dibentuk himpunan S(r), yaitu jika ÎF maka ÎS(r).

Misalkan S(r)={}. Akan dibuktikan bahwa S(r) merupakan insulator kanan untuk r.

Misal rS(r)= r{} = {}. Maka:

AnnR(rS(r)) = {tÎS | rS(r)t={0}}={0}

karena telah diketahui bahwa setiap ideal tak-nol pada S memuat ideal kiri yang tebangun finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

Sehingga akibatnya S(r) merupakan insulator kanan untuk r. dan karena r adalah elemen sebarang pada S*, maka berlaku S(r) merupakan insulator kanan untuk setiap rÎS*.

Jadi S merupakan semiring prima kuat.

 

2.3 Contoh:

Misal (, +7, ´7) adalah semiring finit dengan unsur kesatuan. Ideal-ideal pada  adalah {0} dan , maka ideal tak-nol pada  adalah  sendiri. Ambil 2Î, ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. merupakan ideal kiri yang terbangun secara finit oleh 2 pada . AnnR() = {rÎS |r={0}}={0}. Maka (, +7, ´7) merupakan semiring prima kuat.

 

2.3 Teorema

Semiring (S, +, ·) merupakan semiring prima kuat jika dan hanya jika setiap ideal I dari S, dengan I¹{0}, memuat subset finit G sedemikian sehingga annR(G)={0}.

Bukti:

1. Bukti ke Kanan

Misal diketahui S adalah semiring prima kuat dan I adalah sebarang ideal pada S, dengan I¹{0}. Diambil sebarang elemen I, misal a dengan a¹0. Karena S semiring prima kuat, a pasti mempunyai insulator kanan, misal S(a). dan misalkan aS(a)=G. Karena S(a) finit maka G adalah subset finit dari I, dan annR(G)=(0).

 

2. Bukti ke Kiri

Misal diketahui semiring S, setiap ideal I dari S, dengan I¹{0}, memuat subset finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

Akan dibuktikan S adalah semiring prima kuat:

Andaikan S bukan semiring prima kuat, maka ada aÎI dengan a¹0. a tidak mempunyai insulator kanan.

Misal G sebarang subset S dengan G¹f dan G finit. F=aG maka F Í I dan karena a tidak punya insulator kanan maka annR(F)¹{0}.

AnnR(F) = annR(aG) ¹ {0}, hal ini terjadi kontradiksi dengan yang diketahui bahwa I memuat subset finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

Jadi, kemungkinannya hanyalah a mempunyai insulator kanan. Karena a sebarang elemen pada S, maka S adalah semiring prima kuat.

 

2.4 Contoh:

Dari Contoh 3.12, diketahui bahwa  merupakan semiring prima kuat. Misal H ideal di , H¹{0}, dengan H=={0, 1, 2}. Maka untuk setiap a¹0, aÎH, ada insulator kanan pada , misal (a)={1, 2}. Sehingga dapat dibentuk suatu himpunan finit pada H, misal G=a(a)={a´3b | bÎ(a)}, yang memenuhi annR(G)={0}.

 

2.2 Proposisi

Sebarang semiring simpel dengan unsur kesatuan merupakan semiring prima kuat.

 

2.5 Contoh:

Misal diketahui semiring simpel (, +5, ´5) dengan unsur kesatuannya adalah 1, maka  merupakan semiring prima kuat.

 

2.3 Definisi

Jika suatu subset finit F dari semiring (S, +, ·) merupakan insulator kanan untuk setiap aÎS, a¹0, maka F disebut insulator kanan seragam untuk S. Selanjutnya semiring (S, +, ·) disebut semiring prima kuat seragam jika S memuat insulator kanan seragam.

 

2.6 Contoh:

Misal diketahui semiring  dan F={2, 4, 6} merupakan subset finit dari . F merupakan insulator kanan untuk semua elemen di . Maka F disebut insulator kanan seragam pada . Karena  mempunyai insulator kanan seragam, maka  disebut semiring prima kuat seragam.

 

2.4 Definisi

Semiring (S, +, ·) disebut semiring prima kuat terbatas dengan batas n (dinotasikan dengan SPr(n)) jika untuk setiap aÎS, a¹0, $ HÍS, H insulator kanan a, banyaknya elemen H £ n, dan $ bÎS, $ GÍ S, G insulator kanan b, banyak elemen G ³ n (atau paling sedikit banyaknya elemen G =n). Dalam hal ini n disebut juga batas seragam pada S.

 

2.7 Contoh:

Misalkan diketahui  adalah semiring. Elemen tak-nol dari semiring  adalah 1 dan 2. Pada Contoh 3.12, telah dibuktikan bahwa  merupakan semiring prima kuat. dikatakan semiring prima kuat terbatas dengan batas 1, karena untuk setiap elemen tak-nol pada , yaitu 1 dan 2, mempunyai insulator kanan yang sama, yaitu {1, 2}; {1}; {2}. Karena 1, 2 Πmempunyai insulator kanan {1} dan {2} yang banyak anggotanya £1 dan ada 1Πyang tidak mempunyai insulator kanan yang banyak anggotanya ³1, yaitu {1, 2}, {1}, dan {2}. Sehingga 1 dikatakan batas seragam pada .

 

2.3 Proposisi

Sebarang semi-integral domain merupakan semiring prima kuat terbatas dengan batas 1.

 

2.8 Contoh:

Misalkan diketahui semi-integral domain. Maka  merupakan semiring prima kuat terbatas dengan batas 1.

 

KESIMPULAN

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:

  1. Semiring prima kuat (S, +, ) adalah semiring S yang setiap elemen tak-nolnya mempunyai insulator kanan.
  2. Semiring prima kuat merupakan semiring prima.
  3. Semiring S finit dengan unsur kesatuan merupakan semiring prima kuat jika dan hanya jika setiap ideal tak-nolnya memuat ideal kiri terbangun finit yang annihilator kanannya adalah {0}.
  4. Semiring S merupakan semiring prima kuat jika dan hanya jika ideal tak-nolnya memuat subset finit yang annihilator kanannya adalah {0}.

 

 

DAFTAR PUSTAKA

Dutta, T.K dan M.L Das. 2006. On Strongly Prime Semiring. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2) 30(2)(2007). (Didownload dari http://emis.impa.br/EMIS/journals/BMMSS/pdf/v30n2/v30n2p6.pdf pada tanggal 28 Februari 2010 pukul 23.54)

Gallian, Joseph A. 1990. Contemporary Abstract Algebra. New York: Addison-Wesley Publishing Company.

Soebagio, Suharti dan Sukirman. 1993. Struktur Aljabar. Jakarta: Universitas Terbuka.